在数学中，1的定义依赖于所选用的公理体系。最常见的定义来自皮亚诺公理：1是自然数中唯一不是任何自然数后继（即后继函数S(n)）的数，即存在一个初始元素1（或0，取决于约定），使得所有自然数都由1通过反复应用后继函数生成。在集合论中，1通常被定义为{0}（即包含空集的集合），或更具体地，冯·诺伊曼序数中1 = {0}。此外，1也是乘法单位元，即对于任意数a，a×1 = a。这些定义共同构成了数学中“1”的严格基础。
【常见问题】
问题1：1和0的定义有什么区别？
回答1：1和0的定义不同。在皮亚诺公理中，0通常被定义为自然数的起始元素（如果采用0为起点），而1是0的后继，即S(0)。在集合论中，0定义为空集∅，1定义为{∅}。0是加法单位元，1是乘法单位元。
问题2：为什么1不能定义为自身？
回答2：在公理化集合论中，为了避免循环定义和悖论（如罗素悖论），1不能直接定义为“1这个符号”，而必须通过更基础的集合（如空集）来构造。这种定义保证了数学体系的严谨性。
问题3：1的定义在数学不同分支中是否一致？
回答3：基本一致。在自然数、整数、实数、复数中，1都作为乘法单位元存在，且具有相同的代数性质。但在不同公理体系（如皮亚诺算术、ZFC集合论）中，1的具体构造可能不同，但最终都满足相同的算术性质。